Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Definimos $x_{i_1}$ como el máximo de los números $x_1,\ldots,x_n$ y, para cada $k\geq 1$, definimos $x_{i_{k+1}}$ como el máximo de $x_{i_k+1}$ y $x_{i_k+2}$, donde adoptamos el convenio usual de considerar los subíndices módulo $n$. En otras palabras, $x_{i_{k+1}}$ es el máximo de los dos números que aparecen en el denominador de la fracción cuyo numerador es $x_{i_k}$, de forma que la sucesión $x_{i_1},x_{i_2},\ldots$ son los numeradores de fracciones del enunciado consecutivas o saltando una. De esta forma, está claro que llegará un momento en que volvamos a $x_{i_1}$, ya que es el máximo de todos los números, es decir, existirá un primer valor $p\geq 1$ tal que $x_{i_{p+1}}=x_{i_1}$ y, como vamos saltando de 1 en 1 o bien de 2 en 2, se cumple que $p\geq\frac{n}{2}$.

Entonces, si llamamos $S$ a la suma del miembro de la izquierda de la desigualdad del enunciado, podemos eliminar algunos términos para escribir \begin{align*} S&\geq\frac{x_{i_1}}{x_{i_1+1}+x_{i_1+2}}+\frac{x_{i_2}}{x_{i_2+1}+x_{i_2+2}}+\ldots+\frac{x_{i_p}}{x_{i_p+1}+x_{i_p+2}}\\ &\geq \frac{x_{i_1}}{2x_{i_2}}+\frac{x_{i_2}}{2x_{i_3}}+\ldots+\frac{x_{i_p}}{2x_{i_1}}\\ &\geq \frac{p}{2}\sqrt[p]{\frac{x_{i_1}}{x_{i_2}}\cdot\frac{x_{i_2}}{x_{i_3}}\cdots\frac{x_{i_p}}{x_{i_1}}}=\frac{p}{2}\geq\frac{n}{4}, \end{align*} donde hemos usado la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. En realidad, la igualdad no puede alcanzarse, porque esto quiere decir que $p=\frac{n}{2}$ y, en consecuencia, hemos eliminado la mitad de los sumandos de la suma original, que son términos positivos.

Nota. En el caso $n=2$, la suma del enunciado es siempre igual a $1$. En el caso $n=3$, la desigualdad de Nesbitt nos dice que es mayor o igual que $\frac{3}{2}$ y la igualdad se alcanza cuando todos los números son iguales. No obstante, en general, parece complicado encontrar la constante óptima en función de $n$.