Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Vamos a hacer una acotación a lo bruto que nos va a ser de mucha utilidad: $N\lt 10000^{4444}=10^{17776}$. Esto nos dice que $N$ tiene como mucho $17776$ cifras. Como mucho son todos nueves, lo que nos lleva a que $A\leq9\cdot 17776=159984$. El número menor o igual que $159984$ cuyas cifras suman más es $99999$, de donde deducimos que $B\leq9+9+9+9+9=45$. Ahora bien, el número menor o igual que $45$ cuyas cifras suman más es $39$, de donde $C\leq 3+9=12$. Por otro lado, tenemos que $N\equiv A\equiv B\equiv C (\mbox{mod }9)$ ya que el resto módulo 9 se conserva al sumar las cifras por lo que vamos a calcular el resto de $N$ módulo $9$. Observemos que $4444\equiv 7 (\mbox{mod } 9)$ luego $N\equiv 7^{4444} (\mbox{mod } 9)$ y también que $7^3=343\equiv 1 (\mbox{mod } 9)$ luego $N\equiv 7\cdot(7^3)^{1481}\equiv 7 (\mbox{mod } 9)$. En consecuencia, tenemos que $C\equiv 7 (\mbox{mod } 9)$ y, como $C\leq 12$, tiene que ser $C=7$.