Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Haciendo el cambio $x=\frac{1}{a}$, $y=\frac{1}{b}$, $z=\frac{1}{c}$, podemos reescribir la desigualdad del enunciado como \[\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{3}{2}.\] La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos dice que \[((y+z)+(x+z)+(x+y))\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)\geq (x+y+z)^2.\] De esta desigualdad y de la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica, obtenemos que \[\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac{x+y+z}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\frac{3}{2}\]

Nota. La misma solución se puede seguir sin el cambio de variable, aunque con él puede que sea más sencillo encontrar la forma de aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.