Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Escribamos $S=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ y sea $N$ es el número total de elementos que todas las $n!$ permutaciones de $S$ dejan fijos. Por un lado, está claro que $N=\sum_{k=0}^nkp_n(k)$, ya que las permutaciones que dejan fijos $k$ elementos, dejan fijos un total de $kp_n(k)$ elementos. Por otro lado, cada uno de los $n$ elementos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ queda fijo exactamente para $(n-1)!$ permutaciones distintas, luego $N$ también es igual a $n\cdot (n-1)!=n!$ y tenemos demostrado el enunciado.