Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Existen $9$ números primos menores o iguales que $26$ (esto son $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ y $23$), por lo que cada número de $M$ se expresará como $2^{e_1}3^{e_2}\cdots 19^{e_8}23^{e_9}$, siendo los exponentes $e_1,\ldots,e_9$ no negativos. Si sólo atendemos a la paridad de estos exponentes, tenemos $2^9=512$ posibilidades, luego el principio del palomar nos dice que de entre los $1985$ enteros podremos elegir dos de ellos cuyos exponentes tienen la misma paridad. De entre los $1983\gt 512$ restantes también podemos elegir dos cuyos exponentes tienen la misma paridad y repetir el proceso extrayendo parejas de números con esta propiedad mientras al menos queden $512$ elementos restantes. Como $1985=513+2\cdot 736$, podemos obtener hasta $736$ parejas. Consideremos el conjunto $N$ formado por las $736$ medias geométricas de tales parejas, que son números enteros con divisores primos menores o iguales que $26$. Ahora bien, como $736\gt 512$, podemos encontrar dos de estas medias cuyos exponentes tengan la misma paridad usando el mismo argumento del principio del palomar, luego hemos encontrado cuatro números $a,b,c,d\in M$ tales que $\sqrt{ab}$ y $\sqrt{cd}$ son enteros cuyos exponentes tienen la misma paridad, esto es, $\sqrt[4]{abcd}=\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}$ es un entero.