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Problema 425
ASU, 1961-P7
En cada casilla de un tablero $m\times n$ se encuentra un número real. Se permite cambiar todos los números de una fila o de una columna de signo tantas veces como queramos. Demostrar que puede conseguirse que las sumas de los elementos cada fila y cada columna sean no negativas independientemente de la configuración inicial.
pistasolución 1info
Pista. Analiza la suma total de los elementos cuando cambias de signo una fila o una columna de suma negativa.
Solución. Sea $S$ la suma total de los elementos de la tabla. Cada vez que nos encontremos una fila o columna con suma negativa la cambiamos de signo. Cada una de estas operaciones incrementa el valor de $S$ y, como hay un número limitado de combinaciones de signos (es menor o igual que $2^{mn}$, el número de elecciones de signos $\pm$ en los $mn$ elementos de la tabla), este proceso no puede continuar indefinidamente, es decir, llegamos a un punto en el que todas las filas y columnas tienen suma positiva.
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