Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $S(n)$ a la suma de fracciones que nos dice el enunciado y veamos que $S(n)=\frac{1}{2}$ por inducción sobre $n$. En el caso inicial $n=2$, la única fracción que cumple esos requisitos es $\frac{1}{2}$ para $p=1$ y $q=2$, luego $S(2)=\frac{1}{2}$. Supongamos que $S(n)=\frac{1}{2}$ para cierto $n\geq 2$ y probemos que $S(n+1)=\frac{1}{2}$. Observemos que las sumas $S(n)$ y $S(n+1)$ contienen los mismos sumandos excepto los siguientes:

• Los sumandos que aparecen en $S(n)$ y no en $S(n+1)$ son aquellos en que $p+q=n+1$.
• Los sumandos que aparecen en $S(n+1)$ y no en $S(n)$ son aquellos en que $q=n+1$.

Ahora bien, cada par $(p,q)$ de primos relativos con $p+q=n+1$ se puede poner en correspondencia con los pares de primos relativos $(p,n+1)$ y $(q,n+1)$. El valor total de los sumandos no varía ya que \[\frac{1}{p(n+1)}+\frac{1}{q(n+1)}=\frac{p+q}{pq(n+1)}=\frac{1}{pq},\] luego $S(n+1)=S(n)=\frac{1}{2}$ y el enunciado queda demostrado.