Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $r$ y $s$ las tangentes exteriores a las circunferencias de centros $A$ y $C$ y $r'$ y $s'$ las tangentes exteriores a las circunferencias de centros $B$ y $D$. Una circunferencia tangente a $r$ y $s$ debe equidistar de ambas rectas por lo que su centro pertenece a la bisectriz del ángulo formado por estas (si $r$ y $s$ son paralelas, entonces el centro pertenece a una paralela equidistante a ambas). Esto nos dice que las circunferencias tangentes a $r$ y $s$ tienen su centro en una recta, luego esta debe ser la que contiene a la diagonal $AC$. De la misma forma, debe pertenecer a la diagonal $BD$, luego el centro ha de ser el centro del rectángulo, que denotaremos por $O$.

Consideremos $A'$, $O'$ y $C'$ los pies de las perpendiculares a $r$ que pasan por $A$, $O$ y $C$. Como $AO=OC$, se deduce del teorema de Tales (las rectas $r$ y $AC$ son cortadas por tres paralelas $AA'$, $OO'$ y $CC'$) que $OO'=\frac{1}{2}(AA'+CC')=\frac{1}{2}(a+c)$. Por tanto, la circunferencia con centro $O$ y tangente a $r$ y $s$ tiene radio $\frac{1}{2}(a+c)$. Análogamente, la circunferencia con centro $O$ y tangente a $r'$ y $s'$ tiene radio $\frac{1}{2}(b+d)$. Como $a+c=b+d$, deducimos que ambas son la misma circunferencia y, por tanto, el cuadrilátero que se forma admite una circunferencia inscrita.