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Problema 447
ASU, 1961-P4
Encontrar la forma de colocar 7 fichas en las casillas de un tablero $4\times 4$ de forma que no haya dos filas y dos columnas que contengan todas la fichas. ¿Se puede hacer lo mismo con sólo 6 fichas?
pistasolución 1info
Pista. Después de un poco de ensayo y error, llegarás a encontrar la disposición de las fichas. Para la última pregunta, intenta usar el principio del palomar.
Solución. Hay muchas disposiciones de fichas para responder a la primera pregunta. Después de hacer algunas pruebas, llegaremos a alguna de ellas. Por ejemplo, una solución es
ya que al eliminar dos filas cualesquiera, las fichas restantes ocupan tres columnas.
| $\bigcirc$ | $\bigcirc$ | ||
| $\bigcirc$ | $\bigcirc$ | ||
| $\bigcirc$ | $\bigcirc$ | ||
| $\bigcirc$ |
Para responder a la última pregunta, supongamos que tenemos sólo 6 fichas. Tiene que haber dos filas que contengan 4 fichas entre ambas (si no fuera así, habría máximo una fila con dos fichas y tres filas con una ficha, lo cual da un total de sólo 5 fichas). Por tanto, tomando estas dos filas y las columnas donde estén las 2 fichas restantes, hemos terminado.
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