Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Cada cuadrado excluye un área mayor que la suya para el posible centro del círculo que queremos colocar. Como dicho centro ha de estar a distancia mayor que $\frac{1}{2}$ del cuadrado, esto implica que cada cuadrado excluye un área de $3+\frac{\pi}{4}$: el propio cuadrado, dos rectángulos de dimensiones $\frac{1}{2}\times 1$ pegados a cada lado y cuatro cuartos de círculo de radio $\frac{1}{2}$ pegados a sus esquinas. Esto excluye como máximo un área de $120(3+\frac\pi4)$. Además, como el círculo ha de estar dentro del rectángulo, el centro no podrá estar a distancia menor que $\frac{1}{2}$ del borde del rectángulo. En consecuencia, queda mínimo un área de $19\cdot 24-120(3+\frac\pi4)=96-30\pi$. Este número es positivo ya que $\frac{96}{30}=3.2\gt\pi$, luego siempre habrá puntos donde centrar el círculo cumpliendo las condiciones propuestas.