Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Es fácil encontrar las soluciones $n=1$ y $n=3$, para las que obtenemos $8=2^3$ y $128=2^7$, mientras que $n=2$ no es solución ya que $5^2+3=28$ no es potencia de $2$. Supondremos que existe otra solución $5^n+3=2^k$ con $n\gt 3$ y $k\gt 7$ y llegaremos a una contradicción, lo que nos dirá que las anteriores son las dos únicas soluciones.

Restando $5^n+3=2^k$ y $5^3+3=2^7$, tenemos que $5^n-5^3=2^k-2^7$, que podemos factorizar como $125(5^{n-3}-1)=128(2^{k-7}-1)$. Como $125$ y $2^{k-7}-1$ son impares, se tendrá que $\nu_2(5^{n-3}-1)=7$, donde $\nu_2$ indica la valoración $2$-ádica (el exponente de $2$ en la factorización de $5^{n-3}-1$. Observamos también que $n$ debe ser impar ya que $\nu_2(5^{2r}+3)=2$ para todo entero positivo $r$, por ser $5^{2r}+3\equiv 4\pmod{8}$. Por tanto, si usamos el lema del levantamiento del exponente (LTE) para el exponente par $n-3$ y el primo $p=2$, obtenemos que \[7=\nu_2(5^{n-3}-1)=\nu_2(5-1)+\nu_2(5+1)+\nu_2(n-3)-1=2+\nu_2(n-3),\] luego ha de ser $\nu_2(n-3)=5$, es decir, $n=32j+3$ con $j$ impar. Poniendo $j=2h+1$ llegamos a que $n=64h+35$ para algún entero positivo $h$.

Trabajando módulo $17$, tenemos que $2^{16}\equiv 5^{16}\equiv 1\pmod{17}$ por el pequeño teorema de Fermat, luego \[5^{64h+35}\equiv (5^{16})^{4h+2}\cdot 5^3\equiv 125\equiv 6\pmod{17}.\] Por otro lado, $2^4\equiv 16\pmod{17}$ y $2^8=256\equiv 1\pmod{17}$, luego $2^k$ se repite cada ocho elementos módulo $17$. Tenemos que \begin{align*} 2^0&\equiv 1\pmod{17},&2^1&\equiv 2\pmod{17},&2^2&\equiv 4\pmod{17},&2^3&\equiv 8\pmod{17},\\ 2^4&\equiv 16\pmod{17},&2^5&\equiv 15\pmod{17},&2^6&\equiv 13\pmod{17},&2^7&\equiv 9\pmod{17}. \end{align*}

Como ninguno de estos residuos es igual a $6$, deducimos que $5^{64h+35}+3$ nunca es igual a una potencia de $2$ y hemos terminado.

Nota. Si se considera $n=0$ como número natural, habría que incluirlo como solución ya que en tal caso tenemos $5^0+3=2^2$, pero esto no afecta al resto del razonamiento.