Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Como tenemos que $[\frac{3}{2}]=1$ y $\{\frac{3}{2}\}=\frac{1}{2}$, estamos buscando el conjunto de números reales tales que \[([x]-1)^2+(\{x\}-0.5)^2\lt \frac{202^2}{100^2}=4.0804.\] La parte entera de un número $x$ que cumpla esta desigualdad puede ser $-1$, $0$, $1$, $2$ o $3$ ya que , en caso de ser otro número, el sumando $([x]-1)^2$ sería mayor o igual que $49. Distingamos casos:

• Si $[x]=-1$, entonces la desigualdad nos queda $(\{x\}-0.5)^2\lt 0.0804$ o bien $|\{x\}-0.5|\lt \sqrt{0.0804}$. Esto nos da el intervalo de soluciones $(-0.5-\sqrt{0.0804},-0.5+\sqrt{0.0804})$.
• Si $[x]=0$, entonces la desigualdad nos queda $(\{x\}-0.5)^2\lt 3.0804$ o bien $|\{x\}-0.5|\lt \sqrt{3.0804}$. Como la parte decimal está entre $0$ y $1$, deducimos que todo el intervalo $[0,1)$ son soluciones de la desigualdad.
• Si $[x]=1$, entonces $\{x\}$ puede ser cualquier número entre $0$ y $1$ y la desigualdad es cierta. Esto nos da el intervalo de soluciones $[1,2)$.
• Si $[x]=2$, se razona de la misma manera que si $[x]=0$ por simetría y tenemos todo el intervalo de soluciones $[2,3)$.
• Si $[x]=3$, se razona de la misma manera que si $[x]=-1$ por simetría y tenemos el intervalo de soluciones $(-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804})$.

Con todo esto, el conjunto de puntos buscado es \[(-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804})\cup[0,3)\cup (-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804}).\]

Nota. Hemos usado decimales por comodidad pero todos los números decimales que aparecen son exactos, concretamente $0.0804=\frac{201}{2500}$ y $3.0804=\frac{7701}{2500}$.