Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La condición $a\geq\frac{-3}{4}$ asegura que las raíces cuadradas están bien definidas, luego toda la expresión está bien definida (las raíces cúbicas se pueden calcular para todo número real). Si llamamos $x$ e $y$ a los dos sumandos, no es difícil comprobar que \[x^3+y^3=a+1,\qquad xy=\frac{-a}{3},\] por lo que podemos escribir, usando el binomio de Newton, \[(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)=a+1-a(x+y).\] En otras palabras, el número del enunciado es solución de la ecuación $z^3+az-a-1=0$. Esta ecuación de tercer grado se puede factorizar como $(z-1)(z^2+z+a+1)=0$ y la ecuación $z^2+z+a+1$ tiene discriminante $1-4(a+1)=-3-4a\leq 0$, siendo la igualdad únicamente para $a=\frac{-3}{4}$. Deducimos que $x+y=1$ para $a\neq\frac{-3}{4}$. Para $a=\frac{-3}{4}$, sustituimos en la expresión del enunciado y obtenemos también que $x+y=1$. Queda así demostrado que dicha expresión es igual a $1$ para todo $a\geq\frac{-3}{4}$.