Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos por reducción al absurdo que \(n\) es un entero mayor que \(10\) tal que todos sus dígitos están en el conjunto \(\{1,3,7,9\}\) y sólo tiene factores primos menores que \(11\). Está claro que no puede tener factores \(2\) ó \(5\) (la cifra de las unidades no estaría en el conjunto admisible de cifras) luego \(n\) tiene que ser de la forma \(3^a7^b\) para ciertos exponentes \(a\) y \(b\). Probaremos que para cualquier número de la forma \(3^a7^b\) la cifra de las decenas es par y habremos terminado. Probaremos esto por inducción. Es claro que para \(a=0,b=1\) tenemos \(n=07\) y para \(a=1,b=0\) tenemos \(n=03\), y ambos tienen la cifra de las decenas par. Si ahora probamos que al multiplicar por \(3\) ó por \(7\) un número que tiene el número se las decenas par y el de las unidades 1, 3, 7 ó 9 volvemos a obtener otro número con las mismas características habremos terminado. Esto se deduce de que \(1\cdot 3=03\), \(3\cdot 3=09\), \(7\cdot3=21\), \(9\cdot 3=27\), \(1\cdot 7=07\), \(3\cdot 7=21\), \(7\cdot 7=49\) y \(9\cdot 7=63\), y de que la cifra de las decenas siempre será par ya que es la suma de la cifra de las decenas de uno de los productos anteriores y un número par.