Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $A,B,C$ puntos tales que $\angle ABC>90$ y tal que las distancias entre ellos son mayores que $1$. Entonces, el teorema del coseno nos dice que \[AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cos\angle ABC\gt AB^2+BC^2\gt 2,\] por lo que los puntos $A$ y $C$ están a distancia mayor que $\sqrt{2}$, lo cual es imposible en un cuadrado de lado $1$ (el segmento más largo contenido en él es la diagonal, ¿sabrías probarlo?). Teniendo esto en cuenta, razonemos por reducción al absurdo suponiendo que todas las distancias entre los cuatro puntos dados son mayores que $1$. El problema se reduce, por tanto, a encontrar tres de los puntos que formen un ángulo obtuso. Distingamos dos casos:

• Si los cuatro puntos son los vértices de un cuadrilátero convexo, entonces no puede ser un cuadrado (porque no puede haber un cuadrado de lado mayor que $1$ contenido en otro de lado $1$). Como los cuatro ángulos del cuadrilátero suman $360º$, al menos uno de ellos será mayor que $90º$ y hemos terminado.
• Si no forman un cuadrilátero convexo, entonces uno de ellos estará dentro del triángulo que forman los otros tres, luego forma con cada par de ellos tres ángulos que suman $360º$ y, al menos uno de ellos será mayor o igual que $120º$, luego mayor que $90º$.