Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideramos las $4n$ bolas ensartadas en la cadena numeradas consecutivamente del $1$ al $4n$ de izquierda a derecha. Para cada entero $a$ entre $1$ y $2n+1$, definimos $b(n)$ como el número de bolas blancas que hay en el segmento la que ocupa la posición $a$ y la que ocupa la posición $2n-1+a$. De esta forma, el problema se reduce a encontrar $a$ tal que $b(a)=n$.

Fijado $a$ entre $1$ y $2n$, observemos que $b(a+1)$ es muy parecido a $b(a)$ ya que la diferencia sólo depende del color de las bolas en las posiciones $a$ y $2n+a$. Más explícitamente, pueden ocurrir tres posibilidades:

• $b(a+1)=b(a)$ si las bolas en las posiciones $a$ y $2n+a$ son del mismo color,
• $b(a+1)=b(a)+1$ si la bola en la posición $a$ es negra y la bola en la posición $2n+a$ es blanca,
• $b(a+1)=b(a)-1$ si la bola en la posición $a$ es blanca y la bola en la posición $2n+a$ es negra.

De esta forma, dos números consecutivos de la sucesión $\{b(1),b(2),\ldots,b(2n+1)\}$ se diferencia en a lo sumo en una unidad. Por otro lado, tenemos que $b(1)+b(2n+1)=2n$ ya que estamos contando así todas las bolas blancas de la cadena. Si $b(1)=b(2n+1)=n$, ya hemos terminado porque basta tomar la cadena desde la posición $1$ hasta la posición $n$. Si $b(1)\neq b(2n+1)$, entonces uno de estos dos números será mayor que $n$ y el otro menor que $n$. Como vamos saltando de uno en uno a lo sumo, deberá haber un valor intermedio $1\leq a\leq 2n$ tal que $b(a)=n$.