Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si le aplicamos la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica a los diez sumandos del miembro de la izquierda, tenemos que \[\tfrac{a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ac+ad+bc+bd+cd}{10}\geq\sqrt[10]{a^2b^2c^2abacadbcbdcd}=\sqrt[10]{a^5b^5c^5d^5}=1,\] de donde deducimos de forma inmediata la desigualdad propuesta.

Nota. Si se alcanza la igualdad, entonces $a^2=b^2=c^2=d^2$, luego $a=b=c=d$ por ser números positivos y, como su producto es $1$, los cuatro números tienen que ser iguales a $1$. Recíprocamente, si los cuatro números son iguales a $1$, la igualdad se alcanza, luego este es la única situación en la que se alcanza.