Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 467
ASU, 1962-P9
Sea $n$ un número natural con $1998$ cifras que es divisible entre $9$. Sea $x$ la suma de sus dígitos, $y$ la suma de los dígitos de $x$ y $z$ la suma de los dígitos de $z$. Hallar $z$.
pistasolución 1info
Pista. El resto módulo $9$ no se modifica en la suma. Halla cotas superiores para $x$, $y$ y $z$.
Solución. La mayor suma de cifras posible para números de 1998 cifras es que todas sean nueves, con lo cual podemos estimar $x\leq 9\cdot 1998=17982$. El número con mayor suma de cifras menor o igual que $17982$ es $9999$, lo que nos da la estimación $y\leq 9+9+9+9=36$. El número menor o igual que $36$ con mayor suma de cifras es $29$, que nos da $z\leq 2+9=11$. Ahora bien, la divisibildad entre $9$ se mantiene al sumar las cifras, luego $x$, $y$ y $z$ han de ser todos múltiplos de $9$. Esto nos deja con las posibilidades $z=0$ y $z=9$. Como $z=0$ no es posible (sólo sería posible si $n=0$), tenemos que $z=9$.
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