Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 468
ASU, 1962-P12
Dados tres números enteros distintos $x,y,z\in\mathbb{Z}$, demostrar que $(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$ es divisible entre $5(x-y)(y-z)(z-x)$.
pistasolución 1info
Pista. Observa que los números $a=x-y$, $b=y-z$ y $c=z-x$ suman cero, luego puedes sustituir $c=-(a+b)$ para transformar $a^5+b^5+c^5$.
Solución. Consideremos los enteros $a=x-y$ y $b=y-z$, con lo que $z-x=-a-b$. Así,
\begin{align*}
(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5&=a^5+b^5-(a+b)^5\\
&=-5ab(a^3+2ab+2ab+b^3)\\
&=-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2).
\end{align*}
Por tanto, el número dado es múltiplo de $-5ab(a+b)=5(x-y)(y-z)(z-x)$.
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