Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que el máximo de todos los números es $a_k$ para cierto índice $k$ distinto de $0$ y $n$ (si el máximo fuera $a_0=0$ o $a_n=0$ no habría nada que demostrar). Entonces, \[2a_k\leq a_{k-1}+a_{k+1}\leq a_k+a_k=2a_k,\] ya que $a_k$ es el máximo. Esto nos dice que $a{k-1}=a_k=a_{k+1}$, por lo que el máximo también se alcanza en $a{k-1}$. Repitiendo el argumento, el máximo también se alcanzará en $a_{k-2}$, en $a_{k-3}$,... y así sucesivamente. Por tanto, el máximo también se alcanza en $a_0=0$ y hemos terminado.

Nota. Lo que hemos probado realmente es que el máximo de la sucesión se alcanza estrictamente en $a_0$ y $a_n$ o bien la sucesión es constante cero. Más aún, no es difícil ver a partir de este argumento que si la sucesión no es constante cero, entonces tiene un único mínimo y es estrictamente decreciente hasta el mínimo y luego estrictamente creciente hasta el máximo