Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Llamemos $\Gamma_1,\Gamma_2,\Gamma_3,\Gamma_4,\Gamma_5$ a las circunferencias y supongamos por hipótesis que existen puntos $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ tales que $p_i\in\Gamma_j$ siempre que $j\neq i$. Si dos de estos puntos son iguales, entonces hemos terminado (por ejemplo, si $p_1=p_2$, entonces este punto está en las cinco circunferencias puesto que $p_1$ está en todas menos en $\Gamma_1$, pero $p_2$ sí que está en $\Gamma_1$).

Supongamos entonces que los cinco puntos $p_1,p_2,p_3,p_4,p_5$ son distintos. En particular, $p_1,p_2,p_3$ son tres puntos distintos tanto en $\Gamma_4$ como en $\Gamma_5$. Como tres puntos distintos determinan una única circunferencia, deducimos que $\Gamma_4=\Gamma_5$, luego $p_5$ está también en $\Gamma_5$ y, por tanto, es un punto común a todas las circunferencias.