Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Al insertar entre cada dos números su suma, a la suma de todos los números le estamos sumando ambos números. Como cada número del paso $n$ aparece en dos sumas nuevas del paso $n+1$, en total habremos sumado todos los números dos veces. Si llamamos $S_n$ a la suma de los números en el paso $n$, tendremos entonces que $S_{n+1}=S_n+2S_n=3S_n$. Ahora bien, en el paso $1$ tenemos que $S_1=1+1=2$, luego se sigue claramente que $S_{n}=2\cdot 3^{n-1}$.

Nota. En realidad, cambiar la cantidad de números iniciales o sus valores sólo afecta a $S_1$, de forma que la fórmula $S_{n}=3^{n-1}S_1$ es independiente de la configuración inicial.