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Problema 472
ASU, 1963-P11
¿Se pueden etiquetar los vértices de un polígono de 45 lados con los dígitos del $0$ al $9$ de forma que no haya dos vértices consecutivos etiquetados con el mismo dígito y tampoco haya dos lados distintos del polígono con los mismos dígitos en sus extremos?
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Pista. Observa que hay 45 combinaciones de dos dígitos distintos, luego sólo tienes que ver que alguna de ellas no se puede tomar independientemente de cómo se coloquen los números (es decir, que la respuesta es negativa).
Solución. Supongamos que colocamos todos los dígitos del $0$ al $9$ de cualquier forma en los vértices del $45$-góno. Alguno de ellos estará colocado en menos de $5$ vértices ya que hay $10$ dígitos distintos y sólo $45$ vértices. Esto quiere decir que ese dígito $n$ compartirá segmento con otros $8$ dígitos como máximo y, por tanto, existirá otro dígito $m$ de forma que $m$ y $n$ no son los dos extremos de un mismo segmento.
Ahora bien, hay $\binom{10}{2}=45$ posibles combinaciones de dos dígitos distintos y una de ellas no se toma nunca según hemos visto. Deducimos que la respuesta a la pregunta es negativa.
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