Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si hacemos $x=\frac{1}{2}$, nos queda $-(\frac{a}{2}+b)^{20}=(\frac{1}{4}+\frac{p}{2}+q)^{10}$, pero esto implica que ambos miembros deben ser cero ya que el de la izquierda es menor o igual que cero y el de la derecha mayor o igual que cero. Por lo tanto, deducimos que $b=\frac{-a}{2}$. Ahora bien, el coeficiente de grado $20$ en la ecuación original nos da la igualdad $2^{20}-a^{20}=1$, de donde $a=\sqrt[20]{2^{20}-1}$ y $b=-\sqrt[20]{1-2^{-20}}$. Tenemos entonces que \begin{align*} (2x-1)^{20}-(ax+b)^{20}&=2^{20}(x-\tfrac{1}{2})^{20}-a^{20}(x-\tfrac{1}{2})^{20}\\ &=(x-\tfrac{1}{2})^{20}=(x^2-x+\tfrac{1}{4})^{10}, \end{align*} luego concluimos que necesariamente $p=-1$ y $q=\frac{1}{4}$.