Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Observemos que el polinomio característico asociado a ambas sucesiones es $p(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2$, que tiene a $x=1$ por raíz doble. Por tanto, las soluciones de la sucesión recurrente homogénea para $(b_n)$ son las de la forma $b_n=\beta n+8$ para ciertos $\beta,\gamma\in\mathbb{Z}$ (hemos escrito directamente el término independiente como $8$ ya que se cumple que $b_0=8$). Para obtener las soluciones de la sucesión recurrente no homogénea para $(a_n)$, usaremos un polinomio de grado $2$ (véase la nota más abajo). Sustituyendo $a_n=\delta n^2+\alpha n$ (no tenemos por qué poner término independiente ya que $a_0=0$), se tiene que \begin{align*} 2=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n&=\delta(n+2)^2+\alpha(n+2)-2\delta(n+1)^2-2\alpha(n+1)+\delta n^2+\alpha n\\ &=\delta n^2+4\delta n+4\delta+\alpha n+2\alpha-2\delta n^2-4\delta n-2\delta-2\alpha n-2\alpha+\delta n^2-\alpha n=2\delta. \end{align*} Deducimos que las sucesiones que cumplen esta recursión son las de la forma $a_n=n^2+\alpha n$. Nos queda por imponer la última condición del enunciado, para lo que calculamos \[a_n^2+b_n^2=(n^2+\alpha n)^2+(\beta n+8)^2=n^4+2\alpha n^3+(\alpha^2+\beta^2)n^2+16\beta n+64.\] La forma más sencilla de que esto sea un cuadrado perfecto es que sea el cuadrado de un polinomio, para lo cual lo igualaremos a \[(n^2+kn+8)^2=n^4+2kn^3+(16+k^2)n^2+16kn+64.\] Identificando coeficientes, llegamos a que $\alpha=\beta=k$ y $k^2=16$, lo que nos da dos soluciones para $k=\pm 4$.

• Una solución es $a_n=n^2+4n$ y $b_n=4n+8$ para todo $n\in\mathbb N$, que nos da $(a_{1992},b_{1992})=(3976032,7976)$.
• La otra solución es $a_n=n^2-4n$ y $b_n=-4n+8$ para todo $n\in\mathbb N$, que nos da $(a_{1992},b_{1992})=(3960096,-7960)$.

Nota. Dada una sucesión definida por una recurrencia $x_{n+2}=a x_{n+1}+bx_n$, esta tiene polinomio característico $x^2-ax-b$. Si este polinomio tiene dos raíces distintas $\lambda$ y $\mu$, entonces la sucesión es de la forma $x_n=r\lambda^n+s\mu^n$ para ciertas constantes $r$ y $s$. Si el polinomio tiene una raíz doble $\lambda$, entonces las soluciones son de la forma $x_n=c\lambda^n+dn\lambda^n$ para ciertas constantes $c$ y $d$. Las constantes se determinan imponiendo la condición inicial.

En el caso de la recursión no homogénea $x_{n+2}=a x_{n+1}+bx_n+f(n)$, se ha de comenzar encontrando una solución particular. En el caso de que $f(n)$ sea un polinomio, la solución particular es un polinomio (por eso hemos probado con polinomios de un grado superior en este problema). Una vez obtenida la solución particular, la solución general es la suma de la solución particular con todas las soluciones de la ecuación homogénea asociada (para $f(n)=0$).