Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos que no todos los números $a_1,\ldots,a_n$ son iguales y consideremos el valor máximo $M$ de estos números. Si un número aislado es igual a $M$, entonces en el siguiente paso se sustituirá por un valor menor que $M$. De forma más general, si tuviéramos $k$ números consecutivos iguales a $M$, entonces en el siguiente paso sólo quedarían $k-1$, con lo que tras un número finito de pasos todos los números serán menores que $M$. De la misma forma, tras un número finito de pasos, el valor mínimo $m$ crecerá si los números no son todos iguales. En particular, la diferencia $M-m$ es un número entero positivo que decrece estrictamente tras un número finito de pasos si los números no son iguales; esto demuestra que la sucesión de números es finalmente constante ya que un entero positivo no puede decrecer indefinidamente quedando entero y positivo.

Hemos probado que llegamos siempre a una sucesión constante $a\in\mathbb{Z}$, pero en el paso anterior a esta constante, los números deben ser alternadamente $a+r$ y $a-r$ para otro entero $r$. La sucesión no puede alternar cíclicamente entre dos valores si el número de elementos $n$ es impar.

Nota. Si $n=2k$ es par, sí que podrían ser distintos los números, aunque sigue siendo cierto que la sucesión es finalmente constante. Por ejemplo, si $a_1=a_3=\ldots=a_{2k-1}=1$ y $a_2=a_4=\ldots=a_{2k}=3$, siempre obtenemos números enteros y los números originales no son todos iguales.