Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Lo que nos están preguntando es que al expresar el resultado como una única fracción, siendo el numerador el producto de varios de los números y el denominador el producto del resto, de cuántas formas distintas pueden estar dispuestos los números. Por ejemplo, para $n=2$ sólo podemos obtener $\frac{a_1}{a_2}$; para $n=3$ podemos colocar los paréntesis como $(a_1/a_2)/a_3=\frac{a_1}{a_2a_3}$ o bien como $a_1/(a_2/a_3)=\frac{a_1a_3}{a_2}$; para $n=4$, obtenemos las siguientes cinco posibilidades: \begin{align*} ((a_1/a_2)/a_3)/a_4&=\frac{a_1}{a_2a_3a_4},& (a_1/(a_2/a_3))/a_4&=\frac{a_1a_3}{a_2a_4},\\[5pt] (a_1/a_2)/(a_3/a_4)&=\frac{a_1a_4}{a_2a_3},& a_1/((a_2/a_3)/a_4)&=\frac{a_1a_3a_4}{a_2},& a_1/(a_2/(a_3/a_4))&=\frac{a_1a_3}{a_2a_4}.& \end{align*} Observamos que $a_1$ siempre está en el numerador y $a_2$ siempre está en el denominador, pero el resto de números pueden estar en cualquiera de los dos. Veamos por inducción sobre $n$ que esto último siempre es posible. Consideremos una disposición de los elementos dada por \[\frac{a_1a_{k_1}\cdots a_{k_r}}{a_2a_{j_1}\cdots a_{j_s}}.\qquad\qquad (\star)\] Distinguiremos dos casos dependiendo del primer elemento después de $a_2$ que encontremos en el numerador:

• Si todos los elementos $a_3,\ldots,a_n$ están en el denominador, entonces podemos los poner paréntesis para hacer las divisiones en orden: \[((((a_1/a_2)/a_3)/\ldots)/a_n=\frac{a_1}{a_2a_3\cdots a_n}.\]
• Si no todos los elementos $a_3,\ldots,a_n$ están en el denominador, entonces habrá un primer índice $k\geq 2$ para el que $a_k$ está en el denominador y $a_{k+1}$ en el numerador. Entonces, podemos poner paréntesis de la forma $(A)/(B)$. En $A$ están los números $a_1,a_2,\ldots,a_{k-1}$ con los paréntesis necesarios para obtener la misma disposición que en ($\star$), lo cual se consigue usando la hipótesis de inducción. Análogamente, en $B$ están los números $a_k,\ldots,a_n$ con paréntesis para obtener la misma disposición que en ($\star$) cambiando numerador por denominador, lo que de nuevo es posible por la hipótesis de inducción. De esta forma, la expresión $(A)/(B)$ es algebraicamente equivalente a ($\star$).

Como hay total libertad para elegir las posiciones (numerador o denominador) de $n-2$ números (del $a_3$ al $a_n$), concluimos que hay un total de $2^{n-2}$ expresiones distintas.