Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Trabajamos módulo $4$ y comenzamos observando que todo cuadrado es congruente con $0$ o $1$ módulo $4$. Por tanto, $pqr$ debe ser congruente con $0$ o $3$ módulo $4$. Distinguimos los dos casos:

• Si $pqr\equiv 0\ (\text{mod }4)$, entonces es porque alguno de los números es par. Como son primos, necesariamente dos de ellos son iguales a dos y el tercero, por tanto, igual a $2019$. Como $2019$ no es primo (es múltiplo de $3$), deducimos que este caso no da ninguna solución.
• Si $pqr\equiv 3\ (\text{mod }4)$, entonces los tres primos son congruentes con $1$, $1$ y $3$ o bien con $3$, $3$ y $3$ (en algún orden). En cualquier caso, obtenemos que $p+q+r\equiv 1\ (\text{mod }4)$. Esto contradice el hecho de que $p+q+r=2023\equiv 3\ (\text{mod }4)$, luego tampoco obtenemos soluciones en este caso.

Deducimos que no hay primos en las condiciones del enunciado.

Nota. La misma demostración del segundo caso muestra que no hay enteros impares cumpliendo la condición del enunciado (no tienen por qué ser primos ni positivos).