Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $P$ al polígono regular de $n$ lados. Observemos que un vértice $V$ de $P$ es también vértice de los polígonos en que se descompone $P$ de forma que el ángulo interior de $P$ en $V$ es igual a la suma de los ángulos interiores de los polígonos pequeños. Distinguimos dos casos:

• Si en $V$ sólo hay un polígono pequeño $Q$, entonces $Q$ también es un $n$-gono. Como $P$ se descompone en más de un polígono, entonces $Q$ tiene que tener otro vértice $V'$ en un lado de $P$ adyacente a $V$. En el vértice $V'$ deben confluir más polígonos pequeños.
  • Si $n\geq 7$, entonces es imposible que esto ocurra porque el ángulo interior del $n$-gono es $180(1-\frac{2}{n})$, que deja un ángulo restante en $V'$ de $\frac{360}{n}\lt 60$, en el que no caben más polígonos regulares ya que el ángulo más pequeño es el del triángulo ($60$).
  • Si $n=5$, un pentágono deja un ángulo restante en $V'$ de $\frac{360}{5}=72$. Este tampoco se pude cubrir con ángulos interiores de otros polígonos regulares ya que sólo caben triángulos (y 60 no divide a 72).
  • Si $n$ es igual a $3$, $4$ o $6$, entonces sí se puede hacer el recubrimiento, como mostramos más adelante.
• Si en $V$ hay más de un polígono, por el mismo motivo expuesto en el caso anterior, no puede haber $n$-gonos con $n\geq 6$. Además, si colocamos más de dos polígonos en $V$, entonces obtendríamos un ángulo de 180 o más en $V$. Tenemos entonces, las siguientes tres posibilidades para no pasarnos de $180$ en $V$:
  • Dos triángulos: nos lleva a un ángulo interior en $V$ de $120$, luego $n=6$. El hexágono sí puede recubrirse como veremos más adelante.
  • Un triángulo y un cuadrado: lleva a un ángulo interior en $V$ de $150$, que se corresponde con $n=12$. El dodecácgono sí puede recubrirse, como veremos más adelante.
  • Un triángulo y un pentágono: lleva a un ángulo interior en $V$ de $168$, que no es de la forma $180(1-\frac{2}{n})$ ya que obtendríamos $n=\frac{15}{2}\not\in\mathbb{N}$.

Resta por ver que el triángulo, el cuadrado, el hexágono y el dodecágono pueden recubrirse con polígonos regulares, pero esto es fácil a partir de la discusión anterior, lo que nos da las siguientes figuras:

Nota. La forma de subdividir cada polígono obviamente no es única (por ejemplo, cada una de las piezas de los ejemplos dados puede volver a subdividirse a su vez).