Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Supongamos que $a+b=2009$ y calculemos \begin{align*}\frac{5}{5+25^{a/2009}}+\frac{5}{5+25^{b/2009}} &=\frac{5\cdot (5+25^{b/2009})+5\cdot(5+25^{a/2009})}{(5+25^{a/2009})(5+25^{b/2009})}\\ &=\frac{25+5\cdot 25^{b/2009}+25+5\cdot 25^{a/2009}}{25+5(25^{a/2009}+25^{b/2009})+25}=1. \end{align*} De esta manera, podemos agrupar el primer término con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente. Como hay $2008$ términos, podemos hacer $1004$ parejas que suman $1$ (sin que sobre ningún término), luego la suma del enunciado es igual a $1004$.