Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 500
Sea $n$ un entero positivo. Cada uno de los números $1,2,3,...,2023$ se pinta de un color a escoger entre $n$ distintos. Una vez coloreados se observa que, si uno de los números es múltiplo de otro, entonces se han pintado de distinto color. Encontrar el menor valor de $n$ para el que esto es posible
pistasolución 1info
Pista. ¿Cuál es la sucesión más larga en la que cada número es múltiplo del anterior?
Solución. Como $2^{10}=1024\lt 2023$, deducimos que las once potencias de dos $1,2,4,8,\ldots,2^{10}$ han de tener un color distinto (dos cualesquiera de ellas son una múltiplo de otra), luego son necesarios al menos $11$ colores. Veremos que $11$ colores son suficientes y habremos terminado.
Como $2^{11}=2048\gt 2023$, se tiene que ninguno de los números se escribe con más de $10$ factores primos (posiblemente repetidos). Vamos a colorear los números con $11$ colores de forma que dos números tienen el mismo número solo si tienen el mismo número de factores primos. Entonces, si $a$ es múltiplo de $b$ distinto de $b$, es porque existe un número $1\lt q\leq 2023$ tal que $a=bq$, luego $a$ y $b$ tienen distinto número de factores $a$ tiene los factores de $b$ más los factores de $q$, luego distinto color.
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