Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Comenzamos viendo que si $n=4k+2$, entonces María no puede conseguir su objetivo. María comienza con $2k+1$ números pares y $2k+1$ números impares. Sin embargo, en cada paso no cambia la paridad de la cantidad de números pares e impares ya que ambas cantidades se quedan iguales (si se elige un par y un impar) o se les suma o resta dos unidades (si se eligen dos pares o bien dos impares). Por tanto, siempre tendrá una cantidad impar tanto de pares como de impares y nunca podrá llegar a que todos sean pares o todos sean impares.

Vamos a ver que, por el contrario, María sí que puede llegar a su objetivo en cualquier otro caso. Para ello, vamos a analizar varios casos particulares:

• Si $n=3$, entonces podemos hacer las siguientes transformaciones: \[(1,2,3)\rightarrow(2,3,3)\rightarrow (3,4,3)\rightarrow (4,4,4).\]
• Si $n=4$, entonces podemos hacer las siguientes transformaciones: \[(1,2,3,4)\rightarrow(2,3,3,4)\rightarrow (3,4,3,4)\rightarrow (4,4,4,4).\]
• Si $n=5$, entonces podemos hacer las siguientes transformaciones: \[(1,2,3,4,5)\rightarrow(2,3,3,4,5)\rightarrow (3,4,3,4,5)\rightarrow (4,4,4,4,5)\rightarrow (5,5,4,4,5)\rightarrow(5,5,5,5,5).\]

Ahora bien, si $n=4k+1$, entonces podemos usar el caso $n=5$ para hacer los primeros cinco números iguales a $5$ y el caso $n=4$ para hacer iguales el resto de números por grupos de $4$. A continuación, sumamos un número grande a cada pareja de los cinco primeros números para hacerlos iguales y más grandes que cualquiera de los $n-5$ restantes. Finalmente, sumamos el número que sea necesario a estos $n-5$ números agrupándolos en parejas de iguales. Si $n=4k+3$ hacemos lo mismo aislando el primer grupo de tres números y dividiendo el resto en grupos de cuatro consecutivos. En el caso $n=4k$, no es necesario aislar números ya que podemos considerar directamente los grupos de $4$.