Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 503
Consideremos un paralelogramo $ABCD$. Una circunferencia $\Gamma$ que pasa por el punto $A$ corta a los lados $AB$ y $AD$ por segunda vez en los puntos $E$ y $F$, respectivamente, y a la diagonal $AC$ en el punto $G$. Las prolongaciones de $FG$ y $BC$ se cortan en $H$ y las prolongaciones de $EG$ y $CD$ se cortan en $I$. Demostrar que la recta $HI$ es paralela a $EF$.
pistasolución 1info
Pista. Considera una homotecia de centro $G$ que lleve $E$ en $I$ y demuestra que también lleva $F$ en $H$ usando que las homotecias llevan rectas en rectas paralelas.
Solución. Consideremos la homotecia $h$ de centro $G$ que lleva $E$ en $I$ (esta homotecia tiene razón negativa). Entonces, $h$ debe llevar la recta $AB$ en una recta paralela a $AB$ que pasa por $I$, es decir, $h$ lleva la recta $AB$ a la recta $CD$. Asimismo, $h$ lleva $A$ en un punto de la recta $CD$ alineado con $G$ y $A$, que no puede ser otro que el punto $C$. Finalmente, $h$ lleva la recta $AD$ en una recta paralela a $AD$ que pasa por $h(A)=C$, que no es otra que la recta $BC$. Como un punto y su imagen por $h$ están alineados con $G$, tenemos que $h(F)=G$, luego $h$ lleva la recta $EF$ en la recta $h(E)h(F)=IH$, que es por tanto paralela a $EF$.
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