Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Todo número positivo $x$ se escribe como $x=\frac{1}{1+(\frac{1}{x}-1)}$. Además, la operación del enunciado que combina dos números $x$ e $y$ se puede expresar como \[\frac{1}{1+(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)}.\] Esto nos lleva a conjeturar (probar algunos casos más puede ser útil) que si combinamos los números $x_1,\ldots,x_k$ en cualquier orden, entonces obtendremos el número \[\frac{1}{1+(\frac{1}{x_1}-1)(\frac{1}{x_2}-1)\cdots(\frac{1}{x_k}-1)}.\] Para demostrarlo, combinaremos los números \[y=\frac{1}{1+(\frac{1}{y_1}-1)(\frac{1}{y_2}-1)\cdots(\frac{1}{y_r}-1)}\quad\text{y}\quad z=\frac{1}{1+(\frac{1}{z_1}-1)(\frac{1}{z_2}-1)\cdots(\frac{1}{z_s}-1)},\] lo que nos da \begin{align*} \frac{1}{1+(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)}&=\frac{1}{1+\left(1+(\frac{1}{y_1}-1)\cdots(\frac{1}{y_r}-1)-1\right)\left(1+(\frac{1}{z_1}-1)\cdots(\frac{1}{z_s}-1)-1\right)}\\ &=\frac{1}{1+(\frac{1}{y_1}-1)(\frac{1}{y_2}-1)\cdots(\frac{1}{y_r}-1)(\frac{1}{z_1}-1)(\frac{1}{z_2}-1)\cdots(\frac{1}{z_s}-1)}, \end{align*} que es la expresión esperada. Como todos lo elementos se calculan a partir de combinaciones de esta operación sobre otros elementos del mismo tipo, deducimos que la operación no depende del orden en que hagamos las operaciones. En particular, el número final será siempre el mismo e igual a \[\frac{1}{1+(2-1)(3-1)(4-1)\cdots(2023-1)}=\frac{1}{1+2023!}.\]

Nota. El proceso de la demostración es, de forma encubierta, una inducción completa sobre el número de términos involucrado en la operación, para obtener una fórmula que nos permita calcular el término general, empezando con el caso base de dos términos.

Por otro lado, lo que hemos demostrado y hemos usado realmente es que la operación del enunciado es asociativa y conmutativa, con lo que el resultado no depende de cualquier posible reordenación de los elementos.