Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Que el número $n$ sea sensato equivale a que \[n=a(1+r+r^2+\ldots+r^k)\] para ciertos $a,r\in\mathbb{N}$ tales que $1\lt r\lt n-1$ y $1\leq a\leq r-1$. El caso de $1994=2\cdot 997$ es obvio ya que basta tomar $a=2$, $r=996$ y $k=1$, lo que nos da la representación $1994=22_{(996)}$.

Como $1993$ es primo, no vale el truco anterior y tenemos que necesariamente $a=1$. Por tanto, $1993$ será sensato cuando podamos encontrar $r,k\geq 2$ tales que \[1993=1+r+\ldots+r^k.\] Esta ecuación nos dice además que $r$ debe ser un divisor de $1992=2^3\cdot 3\cdot 81$. No obstante, $r$ no puede ser múltiplo de $81$ ya que $81^2\gt 1993$, lo que nos deja sólo las posibilidades $r\in\{2,3,4,6,8,12,24\}$. En realidad, se pueden probar una a una sin perder demasiado tiempo, pero una opción sin tanto cálculo es observar que \[1993=1+r+\ldots+r^k=\frac{r^{k+1}-1}{r-1}\ \Leftrightarrow\ 1+1993(r-1)=r^{k+1},\] luego sólo tenemos que calcular $1+1993(r-1)$ y ver si es potencia de $r$ o no:

• Para $r=2$, tenemos que $1+1993(r-1)=1994=2\cdot 997$ no es potencia de $2$.
• Para $r=3$, tenemos que $1+1993(r-1)=3987=9\cdot 443$ no es potencia de $3$.
• Para $r=4$, tenemos que $1+1993(r-1)=5980$ es múltiplo de $5$ y no es potencia de $4$.
• Para $r=6$, tenemos que $1+1993(r-1)=9966$ es múltiplo de $11$ y no es potencia de $6$.
• Para $r=8$, tenemos que $1+1993(r-1)=13952=2^7\cdot 109$ no es potencia de $8$
• Para $r=12$, tenemos que $1+1993(r-1)=21924$ es múltiplo de $7$ y no es potencia de $12$.
• Para $r=24$, tenemos que $1+1993(r-1)=45840$ es múltiplo de $5$ y no es potencia de $24$.

Concluimos que $1993$ no es sensato.