Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Como la suma de los dígitos de un número es congruente con el número módulo $9$ y todo cuadrado es congruente con $0$, $1$, $4$ o $7$ módulo $9$, deducimos que la suma de los dígitos de un cuadrado deja uno de estos restos al dividirse entre $9$. Vamos a probar que estos son todos los números buscados, es decir, que todo número congruente con $0$, $1$, $4$ o $7$ módulo $9$ es la suma de los dígitos de un cuadrado y habremos terminado.

• Consideremos los números de la forma $5,35,335,3335,33335,\ldots$ con un cierto número de treses seguidos de un cinco. Sus cuadrados son $25,1225,112225,11115556,\ldots$ cuyas sumas nos dan todos los números de la forma $3k+1$ para $k\geq 2$. Para $k=0$ y $k=1$, tenemos $1^2=1$ con suma $1$ y $2^2=4$ con suma $4$, luego recuperamos así todos los números naturales congruentes con $1$, $4$ y $7$ módulo $9$.
• Tomemos ahora los números de la forma $6,36,336,3336,33336,\ldots$ en los que hemos sustituido los cincos por seises. Sus cuadrados son $36,1296,112896,11128896,1111288896,\ldots$ cuya suma de dígitos es cualquier múltiplo de $9$.