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Problema 530
OME Nacional, 2023-P1
Un cubo de lado $3$ se divide en 27 piezas cúbicas de lado $1$. Dentro de cada pieza hay una bombilla que puede estar encendida o apagada. Cada vez que se pulsa una pieza (no es posible pulsar la del centro del cubo), cambia el estado de su bombilla y el de las que comparten una cara con ella. Inicialmente, todas las bombillas están apagadas.
  1. ¿Se puede conseguir que todas las bombillas queden encendidas?
  2. ¿Se puede conseguir que queden encendidas todas salvo la del centro del cubo?
  3. ¿Se puede conseguir que solo quede encendida la del centro del cubo?
pistasolución 1info
Pista. Para el apartado (a), estudia la paridad del número de centros de caras que tendrías que pulsar para que todo quede encendido. Fíjate también que (c) se deduce de (a) y (b).
Solución.
  1. No. El centro una cara se enciende cuando se pulsa sobre él mismo o sobre el centro de una de las aristas de la cara. Cada centro de arista cambia exactamente dos centros de caras, luego para que todos los centros de caras puedan quedar encendidos habrá que pulsar en un número par de centros de caras, pero esto lleva a que el centro del cubo quede apagado.
  2. Sí. Pulsando los centros de las 12 aristas y los centros de las 6 caras, los vértices reciben 3 cambios, los centros de las aristas 3 cambios y los centros de las caras 5 cambios (todos impares), pero el centro del cubo recibe 6 cambios (par) y queda apagado.
  3. No. Por reducción al absurdo, si fuera posible esta configuración, entonces realizando a continuación las pulsaciones del apartado (b) conseguiríamos que todas estuvieran encendidas y hemos visto en el apartado (a) que esto es imposible.
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