Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un cubo de lado $3$ se divide en 27 piezas cúbicas de lado $1$. Dentro de cada pieza hay una bombilla que puede estar encendida o apagada. Cada vez que se pulsa una pieza (no es posible pulsar la del centro del cubo), cambia el estado de su bombilla y el de las que comparten una cara con ella. Inicialmente, todas las bombillas están apagadas.

1. ¿Se puede conseguir que todas las bombillas queden encendidas?
2. ¿Se puede conseguir que queden encendidas todas salvo la del centro del cubo?
3. ¿Se puede conseguir que solo quede encendida la del centro del cubo?