Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamamos $\gamma=\angle ACB$ por comodidad y supongamos que $AB\lt AC$ sin perder generalidad. Tenemos que $\angle AOC=2\gamma$ por la propiedad del ángulo central. Como $OA$ y $AM$ son perpendiculares, para que los ángulos del triángulo $AMO$ sumen $180$, tiene que ser $\angle AMO=90-2\gamma$, luego $\angle NMU=90+2\gamma$ y ya tenemos uno de los tres ángulos del triángulo $UMN$. Por otro lado, se tiene que $ARS$ es rectángulo isósceles, luego $\angle NRB=\angle ARS=45$. Como $\angle RBN=180-\angle ABC=180-(90-\gamma)=90+\gamma$, para que los ángulos de $NRB$ sumen $180$ tiene que ser $\angle RNB=45-\gamma$ y tenemos el segundo ángulo de $UMN$. Para que la suma sea $180$, el tercero tiene que ser igual a $180-(90+2\gamma)-(45-\gamma)=45-\gamma$, luego $\angle UNM=\angle MUN=45-\gamma$ y queda demostrado que el triángulo $UMN$ es isósceles.