Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Los números $1,2,3,\ldots,n^2$ se colocan en las casillas de una cuadrícula $n\times n$ en algún orden (uno por casilla). Una ficha se encuentra inicialmente en la casilla con el número $n^2$. En cada paso, la ficha puede avanzar a cualquiera de las casillas que comparten un lado con la casilla donde se encuentra. Primero, la ficha viaja a la casilla con el número $1$ y, para ello, toma uno de los caminos más cortos. Desde la casilla con el número $1$ viaja a la casilla con el número $2$, desde allí a la casilla con el número $3$ y así sucesivamente hasta que regresa a la casilla inicial con el número $n^2$, tomando en cada viaje el camino más corto. Si el recorrido le lleva $N$ pasos, determinar el menor y el mayor valor posible de $N$.