Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si $m$ es par, entonces todos los términos de la sucesión son enteros, luego este caso no nos interesa. Supongamos entonces que $m$ es impar y observamos que todos los términos tienen denominador $2$ hasta el menor valor de $n$ para el que $\lceil a_n\rceil$ es par, lo que implica que a partir de $a_{n+1}$ todos los términos serán enteros. Dicho de otro modo, en cuanto un término es entero, todos los siguientes lo son también.

Pongamos que $a_n=\frac{p}{2}$, con $p$ impar, y escribamos $p=2^eq+1$, siendo $q$ también impar, es decir, $2^e$ es la mayor potencia de $2$ que divide al número par $p-1$. Tenemos que \begin{align*} a_{n+1}=\frac{2^eq+1}{2}\left\lceil\frac{2^eq+1}{2}\right\rceil&=\frac{2^eq+1}{2}\cdot\frac{2^eq+2}{2}\\ &=\frac{(2^eq+1)(2^{e-1}q+1)}{2}\\ &=\frac{2^{2e-1}q^2+2^eq+2^{e-1}q+1}{2}=\frac{2^{e-1}q'+1}{2}, \end{align*}

para el entero impar $q'=2^eq^2+3q$. De esta forma, en cada paso de la sucesión se reduce en una unidad el exponente $e$. Para que $a_{2007}$ sea el primer término entero, tiene que ser $m=2^{2006}q+1$ siendo $q$ cualquier entero positivo impar.