Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. En primer lugar, hay que decir que $P$ no es otra cosa que el baricentro de $ABC$. Como el baricentro dista de un vértice el doble que del punto medio del lado opuesto, tenemos que \[MP=\frac{BM}{3}=\frac{\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}}{6},\quad NP=\frac{CN}{3}=\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}{6},\] donde hemos usado la conocida expresión para las medianas del triángulo en términos de las longitudes de los lados. Con esta información, tenemos que el cuadrilátero $ANMP$ tiene una circunferencia inscrita si, y solo si, sus lados opuestos tienen la misma suma. Podemos desarrollar \begin{align*} AM+NP=AN+MP&\Leftrightarrow&\frac{b}{2}+\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}{6}=\frac{c}{2}+\frac{\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}}{6}\\ &\Leftrightarrow\ \frac{b}{2}-\frac{c}{2}=\frac{\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}}{6}-\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}{6}\\ &\Leftrightarrow\ b-c=\frac{(2(a^2+c^2)-b^2)-(2(a^2+b^2)-c^2)}{3(\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}+\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2})}\\ &\Leftrightarrow\ b-c=\frac{c^2-b^2}{\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}+\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}} \end{align*} En los últimos pasos, hemos multiplicado por la expresión conjugada (para eliminar las raíces del numerador) y hemos simplificado. Ahora basta observar que si $b=c$, entonces se tiene la igualdad anterior. Sin embargo, si $b\neq c$, la igualdad no es cierta ya que los dos miembros tienen signos opuestos. Deducimos entonces, que si hay circunferencia inscrita, entonces tiene que ser $b=c$, es decir, el triángulo $ABC$ tiene que ser isósceles.