Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Construimos puntos $P'$ y $Q'$ sobre la recta $PQ$ tales que $PD=P'D$ y $CQ=C'Q$. Supondremos que $P\neq P'$ y $Q\neq Q'$ a menos que $AD$ o $BC$ sean perpendiculares a $PQ$. Observamos que $pp'D$ y $QQ'C$ son isósceles, luego se tiene que $\angle APQ=\angle P'PD=\angle Q'P'D$ y $\angle BQP=\angle Q'QC=\angle P'Q'C$. Esta igualdad de ángulos junto con las proporciones dadas en el enunciado nos dicen que $ABQP$ y $DCQ'P'$ son cuadriláteros semejantes (indicados en rojo y verde en la figura. Por tanto, el ángulo que forman los pares de lados opuestos $AB$ y $PQ$ en $ABQP$ es el mismo que el que forman los lados homólogos $CD$ y $P'Q'$ en $DCQ'P'$. Dicho de otra forma, cuando prolongamos los estos lados, obtenemos triángulos semejantes $APX$ y $DP'Y$ (representados en azul), siendo $X$ la intersección de $PQ$ y $AB$ e $Y$ la intersección de $PQ$ y $CD$. Esto concluye la demostración ya que nos dice que $\angle AXP=\angle DYP$.