Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Vamos a razonar por inducción sobre $n$. Para $n=1$, está claro que el conjunto que maximiza la suma de los inversos es $S_1=\{1\}$, luego vamos a suponer que existe un conjunto $S_{n-1}$ de $n-1$ enteros que maximiza la suma de los inversos (de entre todos los subconjuntos de $\mathbb{N}$ con $n-1$ elementos que no tienen tres en progresión artimética) y probar que existe otro conjunto $S_n$ con la misma propiedad para $n$ elementos.

Escribamos los elementos de $S_{n-1}$ como $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_{n-1}$. Consideremos $\Gamma$ la familia de todos los subconjuntos de $n$ elementos menores o iguales que $2a_{n-1}$ que no tienen tres en progresión artimética. Entonces, $\Gamma$ es una familia finita no vacía puesto que $\{a_1,a_2,\ldots,a_{n-1},2a_{n-1}\}\in\Gamma$. Por tanto, $\Gamma$ tiene (al menos) un elemento cuya suma de inversos es máxima entre todos los elementos de $\Gamma$ y lo definimos como $S_n$. Veamos que $S_n$ tiene suma de inversos mayor que cualquier otro conjunto que no está en $\Gamma$ y habremos terminado. Pongamos que $b_1\lt b_2\lt\ldots\lt b_n$ forman un conjunto de $n$ elementos que no tiene tres en progresión aritmética y que no está en $\Gamma$, luego $b_n\gt 2a_{n-1}$. Esto nos dice que \[\frac{1}{b_1}+\ldots+\frac{1}{b_{n-1}}+\frac{1}{b_n}\leq \frac{1}{b_1}+\ldots+\frac{1}{b_{n-1}}+\frac{1}{2a_n}\leq \frac{1}{a_1}+\ldots+\frac{1}{a_{n-1}}+\frac{1}{2a_n},\] donde hemos usado la hipótesis de inducción. Por tanto, el conjunto $\{b_1,\ldots,b_n\}$ es peor que $\{a_1,\ldots,a_{n-1},2a_{n-1}\}\in\Gamma$, luego tiene suma de inversos menor que la de $S_n$.

Nota. Antes de empezar, es necesario entender el problema, porque podría parecer que es una obviedad. El quid de la cuestión es que hay infinitos conjuntos de $n$ números naturales y en una tal familia infinita podría no haber máximo (la suma de los inversos podría tomar valores arbitrariamente cercanos a cierta cota superior sin alcanzarla nunca). El punto fundamental de la solución dada consiste en ver que el máximo se puede elegir de entre una cantidad finita de sucesiones.