Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Ser divisible por $45$ es lo mismo que ser divisible simultáneamente por $5$ y por $9$. Por un lado tenemos que \[A(n)\equiv 1+1+1+\ldots+1=n\ (\text{mod }5),\] luego $A(n)$ es múltiplo de $5$ si y solo si $n$ lo es. Por otro lado, \[A(n)\equiv 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2\ (\text{mod }9),\] ya que cada número es congruente con la suma de sus cifras módulo $9$ y donde hemos usado además la fórmula conocida para la suma de los $n$ primeros números naturales. Ahora bien, $\frac{n(n+1)}2$ es múltiplo de $9$ cuando $n$ o $n+1$ sean múltiplos de $9$ (ambos no pueden ser múltiplos de $3$ porque son enteros consecutivos). Buscando el primer múltiplo positivo de $5$ tal que $n$ o $n+1$ sean múltiplos de $9$, llegamos rápidamente a que la respuesta a la pregunta del enunciado es $n=35$.