Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sea $M$ el punto medio del lado $AB$. Como se trata de un trapecio isósceles, está claro que los triángulos $AMC$, $CMD$ y $CMB$ son equiláteros de lado $5$. Además, $AC$ y $BD$ contienen son mediatrices de $CMD$ correspondientes a los lados $DM$ y $CM$, respectivamente, luego $O$ es el circuncentro de $CMD$. Además, $DM$ y $EF$ son paralelas ya que ambas son perpendiculares a $AC$. Aplicando el teorema de Tales a estas paralelas que cortan a $AC$, $AD$ y $AB$ y teniendo en cuenta que $ON=\frac{1}{3}\cdot CN$, siendo $N$ la intersección de $AC$ y $DM$, llegamos a que $DE=FM=\frac{1}{3}MB=\frac{5}{3}$.

Con todo esto ya podemos calcular el área de $AECF$ puesto que esta consta de los dos triángulos equiláteros $ADM$ y $DMC$ (en azul en la figura). Ambos tienen lado $\ell=5$, luego su área es $\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$ (esto se comprueba fácilmente usando el teorema de Pitágoras). También tenemos que contar los dos triángulos congruentes $DEC$ y $CMF$ (en amarillo en la figura), que tienen la misma altura que los equiláteros pero un tercio de su base, luego cada uno aporta un tercio del área ya calculada $\frac{25\sqrt{3}}{4}$. En resumen, tenemos que \begin{align*} \mathrm{Area}(AECF)&=\mathrm{Area}(ADM)+\mathrm{Area}(DMC)+\mathrm{Area}(DEC)+\mathrm{Area}(CMF)\\ &=\frac{25\sqrt{3}}{4}+\frac{25\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{25\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{25\sqrt{3}}{4}=\frac{50\sqrt{3}}{3}. \end{align*}