Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

• Todas las personas de $E$ deben ser amigas entre sí por la regla de enemistad que nos dan en el enunciado.
• Se puede suponer que $k\geq 1$ (porque $k=0$ significa que todo el mundo en la fiesta es amigo de todo el mundo y dos personas cualesquiera cumplen las propiedades requeridas).
• También puede suponerse que todas las persones de $E$ tienen un número distinto de enemigos (si hubiera dos con el mismo número de enemigos, ya hemos terminado, pues estos son los dos que buscamos).

  Como los enemigos de cualquier persona de $E$ no pueden estar en $E$, el número de enemigos de cada una debe estar entre $1$ (contando a $M$) y $100 - k$. Para que existan $k$ valores distintos en ese rango, debe cumplirse que $k \leq 100 - k$, es decir, $1\leq k \leq 50$.

Lo anterior nos dice que a cada persona se le puede asignar un número entre $0$ y $50$, que es su número de enemigos, y no puede haber tres personas con el mismo número asignado (entre esas tres habría al menos un par de amigos según la regla de enemistad). Más observaciones:

• No puede haber dos personas con $0$ enemigos (estas dos son automáticamente amigas y ya hemos terminado).
• Si hay dos personas que tienen exactamente un enemigo y son amigas también hemos terminado. Si son enemigas, entonces podemos eliminarlas de la fiesta y no afectan al número de enemistades del resto. En tal caso, el mismo argumento de arriba para $98$ personas en lugar de $100$ nos dice que podemos terminar salvo que $1\leq k\leq 49$, pero tenemos en este caso personas con $50$ enemigos.

Entonces, el único escollo que nos queda por salvar es que de las $100$ personas haya una con $0$ enemigos, otra con $1$ enemigo y dos con cada número de enemigos entre $2$ y $50$, pero esto también es imposible ya que en tal caso habría un número total de enemigos impar, contradiciendo que si A es enemigo de B, B también es enemigo de A.