Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Vamos a demostrar un resultado más fuerte en el que sólo necesitamos que haya $p$ valores consecutivos de $n$. Podemos entonces suponer que estos son $0,1,\ldots,p-1$ al reducir módulo $p$, es decir, existen $x_0,x_1,\ldots,x_{p-1}\in\mathbb{Z}$ tales que $an^2+bn+c\equiv x_n^2\pmod{p}$.

Si $p$ divide a $a$, entonces $a \equiv 0 \pmod p$ y la ecuación se escribe $bn + c \equiv x_n^2 \pmod p$. Si $b\not\equiv 0\pmod p$, $bn+c$ toma todos los valores módulo $p$ pero $x_n^2$ no (hay $\frac{p+1}{2}\lt p$ residuos cuadráticos módulo $p$), luego este caso es imposible. Por lo tanto, $b\equiv 0\pmod p$, lluego $\Delta = b^2 - 4ac \equiv 0 \pmod p$ y hemos terminado.

Supongamos entonces que $p$ no divide a $a$. Completando el cuadrado y multiplicando por $4a$, podemos reescribir la ecuación como \[(2an + b)^2 - (b^2 - 4ac) \equiv 4ax_n^2 \pmod p.\] Notemos que $2an+b$ recorre todos los restos módulo $p$, luego escribiendo $u = 2an + b$ y definiendo $A \equiv (4a)^{-1}\not\equiv 0\pmod p$ y $B \equiv -(b^2 - 4ac)(4a)^{-1}\pmod p$, la condición que tenemos se escribe como $Au^2 + B=y_u^2 \in S$ para todo $0\leq u\lt p$, siendo $S$ el conjunto de cuadrados módulo $p$.

La aplicación $f: S \to \mathbb{Z}_p$ dada por $f(s) = As + B$ es inyectiva. Como $f(S) \subseteq S$ y $S$ es finito, se tiene que $f(S) = S$. Sumando la igualdad $Au^2+B=y_u^2$ sobre todos los residuos $u$, obtenemos en el miembro de la izquierda \[\sum_{u=0}^{p-1} (Au^2 + B) = A \sum_{u=0}^{p-1} u^2 + pB \equiv 0 \pmod p.\] Aquí se ha usado que que $\sum_{u=0}^{p-1} u^2\equiv \frac{1}{6}(p-1)p(2p-1)\equiv 0\pmod p$ ya que $p \geq 5$. Para el miembro de la derecha, observamos que, al variar $u$, el cuadrado $u^2$ toma el valor $0$ una vez y cada $s \in S \setminus \{0\}$ dos veces. Dado que $f(S)=S$, nos queda \begin{align*} \sum_{u=0}^{p-1} x_u^2 &=\sum_{u=0}^{p-1} f(u^2)= f(0) + 2 \sum_{s \in S \setminus \{0\}} f(s)\\ & = B + 2 \sum_{s \in S \setminus \{B\}} s = 2 \sum_{s \in S} s - B \equiv -B \pmod p. \end{align*} Igualando ambos resultados, llegamos a que $0 \equiv -B \pmod p$. Dado que $B = -(b^2 - 4ac)(4a)^{-1}$, concluimos que $b^2 - 4ac \equiv 0 \pmod p$, como queríamos demostrar.