Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Elevando al cuadrado, tenemos que $a-\sqrt{a+x}=x^2$ y depejamos la raíz como $x^2-a=\sqrt{a+x}$. Elevando de nuevo al cuadrado, tenemos la ecuación \[x^4-2ax^2+a^2=a+x\ \Leftrightarrow\ x^4-2ax^2+x+a(a-1)=0.\] Esta última ecuación de grado $4$ puede parecer imposible de resolver ya que tiene el parámetro $a$, pero resulta que se puede factorizar como producto de dos polinomios de grado $2$: \[0=x^4-2ax^2+x+a(a-1)=(x^2-x-a)(x^2+x-a+1).\] Esto nos da dos ecuaciones de segundo grado. La primera ecuación nos da dos soluciones: \[x^2-x-a=0\ \leadsto\ x_1=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2},\ x_2=\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2}.\] La segunda por su parte nos da otras dos soluciones: \[x^2+x-a+1=0\ \leadsto\ x_3=\frac{-1+\sqrt{4a-3}}{2},\ x_4=\frac{-1-\sqrt{4a-3}}{2}.\] Sin embargo, tenemos que comprobar si cada una de estas cuatro soluciones realmente cumple la ecuación original (al elevar al cuadrado podemos haber introducido soluciones ficticias (donde las raíces del enunciado no están definidas o no dar los valores correctos).

• $x_2$ y $x_4$ son negativos, luego no son soluciones ya que $x=\sqrt{a-\sqrt{x+a}}\geq 0$ nos dice que $x$ tiene que ser positivo (una raíz nunca es negativa).
• $x_1$ tampoco es solución ya que $x_1=\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\gt\frac{\sqrt{4a}}{2}=\sqrt{a}$ y cualquier solución cumple que $x=\sqrt{a-\sqrt{x+a}}\lt\sqrt{a}$.
• $x_3$ sí que es solución (la nota de abajo nos da otro motivo del porqué). Para verlo, nos damos cuenta primero de que $x_3\geq 0$ y, por tanto, $x_3+a\geq 0$; además, tenemos que \begin{align*} 0\leq x_3+a&=\frac{2a-1+\sqrt{4a-3}}{2}\\ &\leq \frac{2a-1+2a-1}{2}=2a-1=a^2-(a-1)^2\leq a^2. \end{align*} Por tanto, se cumple que $\sqrt{x_3+a}\leq a$ y la raíz grande del enunciado también está bien definida. Deducimos que $x_3$ es la única solución.

Nota. Un atajo que nos puede hacer entender mejor el problema es darse cuenta de que el miembro de la izquierda $f(x)=\sqrt{a-\sqrt{a+x}}$ es una función continua y estrictamente decreciente definida en un intervalo $[0,x_0]$ con $f(0)>0$ y $f(x_0)=0$ y que el de la derecha $g(x)=x$ es también continua y estrictamente creciente con $g(0)=0$ y $\lim_{x\to\infty}g(x)=+\infty$, luego la ecuación $f(x)=g(x)$ tiene necesariamente una única solución.