Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Definimos $\alpha = \angle CDP$ y $\beta = \angle CDQ$. Nuestro objetivo es demostrar que $\alpha = \beta$.

Como las cevianas $AP$, $BQ$ y $CD$ son concurrentes en el punto $E$, por el Teorema de Ceva se cumple: \[ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1.\] Vamos a calcular los cocientes anteriores de otra forma para obtener el resultado.

Utilizando que la razón entre los segmentos de la base de un triángulo es igual a la razón de las áreas de los triángulos que comparten un vértice común, tenemos que \[ \frac{BP}{PC} = \frac{\text{Área}(BDP)}{\text{Área}(CDP)} = \frac{\frac{1}{2} BD \cdot DP \operatorname{sen}(90^\circ - \alpha)}{\frac{1}{2} CD \cdot DP \operatorname{sen} \alpha} = \frac{BD \cos \alpha}{CD \operatorname{sen} \alpha} = \frac{BD}{CD\tan \alpha}. \] Análogamente, \[ \frac{CQ}{QA} = \frac{\text{Área}(CDQ)}{\text{Área}(ADQ)} = \frac{\frac{1}{2} CD \cdot DQ \operatorname{sen} \beta}{\frac{1}{2} AD \cdot DQ \operatorname{sen}(90^\circ - \beta)} = \frac{CD \operatorname{sen} \beta}{AD \cos \beta} = \frac{CD}{AD} \tan \beta. \] Por lo tanto, la igualdad de Ceva nos queda \[ \frac{AD}{BD} \cdot \left( \frac{BD}{CD\tan \alpha} \right) \cdot \left( \frac{CD}{AD} \tan \beta \right) = 1\ \Longleftrightarrow \tan \alpha = \tan \beta.\] Dado que $\alpha$ y $\beta$ son ángulos agudos en un triángulo acutángulo, concluimos que $\alpha = \beta$.

Solución. Vamos a considerar un sistema de coordenadas en el que el origen está en $D=(0,0)$ y los vértices del triángulo son $A=(a,0)$, $B=(b,0)$ y $C=(0,c)$ con $b,c\gt 0$ y $a\lt 0$. Ahora bien, la recta $AP$ corta a $CD$ (el eje $OY$) en un punto $X=(0,h)$. Es equivalente mover $P$ sobre $BC$ a mover $X$ sobre $AD$, luego el problema queda determinado sólo en términos de la variable $h$. El punto $P=(x_P,y_P)$ es la intersección de $AP$ y $BC$, luego es solución del sistema \[\left.\begin{array}{l} AP:\ \frac{x_P}{a}+\frac{y_P}{h}=1\\ BC:\ \frac{x_P}{b}+\frac{y_P}{c}=1 \end{array}\right\}\ \Longleftrightarrow\ P=(x_P,y_P)=\left(\frac{ab(c-h)}{ac-bh},\frac{ch(a-b)}{ac-bh}\right).\] Por la simetría de la construcción, $Q$ se obtiene cambiando $a$ por $b$ en lo anterior, es decir, \[Q=(x_Q,y_Q)=\left(\frac{ab(c-h)}{bc-ah},\frac{ch(b-a)}{bc-ah}\right).\] Además, $P$ está en el primer cuadrante y $Q$ en el segundo, luego la igualdad $\angle PDC=\angle QDC$ se deduce del hecho de que \[\frac{y_Q}{x_Q}=-\frac{y_P}{x_P}\] y esto demuestra que $CD$ es la bisectriz de $\angle PDQ$.

Nota. A la hora de formular las rectas, nos hemos basado en la conocida como ecuación continua de una recta. Esta nos dice que la recta del plano que pasa por los puntos $(a,0)$ y $(0,b)$ tiene ecuación $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ (como puede comprobarse fácilmente).