Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Sea $A_i$ la suma de la fila $i$-ésima y $B_j$ la suma de la columna $j$-ésima. La condición del enunciado es que el elemento $(i,j)$ de la tabla tiene el valor $A_iB_j$. Por lo tanto, si llamamos $S$ a la suma de todos los elementos de la tabla, los elementos de la fila $i$-ésima suman \begin{align*} A_i=A_iB_1+A_iB_2+\ldots+A_{i}B_{2024}=A_i(B_1+B_2+\ldots+B_{2024})=A_iS, \end{align*} ya que la suma de todos los $B_j$ es igual $S$. Si $S\neq 1$, entonces tendríamos que $A_i=0$ y esto valdría para cualquier fila, luego el número $A_iB_j$ en la casilla $(i,j)$ sería cero, en contra de lo que dice el enunciado. Deducimos entonces que $S=1$ (por ejemplo, esto se cumple si todos los elementos son iguales e iguales a $\frac{1}{2024000}$). Esto responde a la primera pregunta del enunciado.

Sin embargo, tenemos que encontrar un ejemplo en el que no haya filas ni columnas constantes para responder a la segunda parte. Para ello, inspirados por lo anterior, consideraremos $1000$ números diferentes $u_1,\ldots, u_{1000}$ cuya suma sea $1$ y $2024$ números diferentes $v_1,\ldots, v_{2024}$ cuya suma también sea $1$ y pondremos en la casilla de coordenadas $(i,j)$ el número $u_iv_j$. En este caso, la fila $i$-ésima y la columna $j$-ésima suman respectivamente \begin{align*} A_i&=u_iv_1+u_iv_2+\ldots u_iv_{2024}=u_i(v_1+\ldots+v_{2024})=u_i,\\ B_j&=u_1v_j+u_2v_j+\ldots u_{1000}v_{j}=(u_1+\ldots+v_{1000})v_j=v_j, \end{align*} luego $A_iB_j=u_iv_j$ es el elemento colocado en la casilla $(i,j)$.